Теорема Виета: ключ к решению квадратных уравнений

Квадратные уравнения занимают важное место в математике. Они могут встречаться в различных областях науки и техники‚ и их решение является одной из основополагающих задач алгебры. Одним из мощных инструментов‚ помогающих в решении квадратных уравнений‚ является теорема Виета. В этой статье мы подробно рассмотрим‚ что такое теорема Виета‚ как она применяется для решения квадратных уравнений и приведем примеры её использования.

Что такое теорема Виета?

Теорема Виета‚ названная в честь французского математика Фердинанда Виета‚ устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями. Если квадратное уравнение имеет вид⁚

ax² + bx + c = 0‚

где a‚ b‚ и c — коэффициенты‚ а x₁ и x₂ — корни уравнения‚ то согласно теореме Виета выполняются следующие соотношения⁚

• x₁ + x₂ = -b/a (сумма корней)
• x₁ * x₂ = c/a (произведение корней)

Эти два свойства позволяют нам находить корни квадратного уравнения‚ зная его коэффициенты‚ и наоборот‚ определять коэффициенты‚ если известны корни.

Применение теоремы Виета для решения квадратных уравнений

Рассмотрим‚ как использовать теорему Виета для решения квадратных уравнений. Предположим‚ нам дано уравнение⁚

2x² ౼ 8x + 6 = 0

Первым делом определим коэффициенты⁚

• a = 2
• b = -8
• c = 6

Теперь можем воспользоваться формулами Виета. Сначала найдем сумму корней⁚

x₁ + x₂ = -(-8)/2 = 4

Теперь найдем произведение корней⁚

x₁ * x₂ = 6/2 = 3

Теперь у нас есть система уравнений⁚

1. x₁ + x₂ = 4
2. x₁ * x₂ = 3

Решим эту систему. Обозначим x₁ = x и x₂ = 4 ‒ x.

Подставим во вторую формулу⁚

x * (4 ౼ x) = 3

Раскроем скобки⁚

4x ౼ x² = 3

Перепишем уравнение в стандартной форме⁚

x² ‒ 4x + 3 = 0

Теперь решим это уравнение‚ используя дискриминант⁚

D = b² ‒ 4ac = (-4)² ‒ 4 * 1 * 3 = 16 ౼ 12 = 4

Корни будут⁚

x₁ = (4 + √4)/2 = 3

x₂ = (4 ౼ √4)/2 = 1

Таким образом‚ корни нашего квадратного уравнения — это 1 и 3.

Сложности при использовании теоремы Виета

Несмотря на свою полезность‚ теорема Виета может вызвать некоторые трудности‚ особенно если коэффициенты уравнения являются дробными или отрицательными. Тем не менее‚ с практикой вы сможете применять её для нахождения корней даже в сложных случаях.

Пример с дробными коэффициентами

Рассмотрим уравнение⁚

0.5x² ౼ 1.5x + 1 = 0

Здесь коэффициенты⁚

• a = 0.5
• b = -1.5
• c = 1

Сначала находим сумму корней⁚

x₁ + x₂ = -(-1.5)/0.5 = 3

И произведение корней⁚

x₁ * x₂ = 1/0.5 = 2

Теперь решаем систему⁚

1. x₁ + x₂ = 3
2. x₁ * x₂ = 2

Обозначим x₁ = x и x₂ = 3 ‒ x. Подставим во вторую формулу⁚

x * (3 ‒ x) = 2

Раскроем скобки⁚

3x ‒ x² = 2

Перепишем уравнение⁚

x² ‒ 3x + 2 = 0

И находим дискриминант⁚

D = (-3)² ‒ 4 * 1 * 2 = 9 ౼ 8 = 1

Корни будут⁚

x₁ = (3 + √1)/2 = 2

x₂ = (3 ౼ √1)/2 = 1

Таким образом‚ корни уравнения — это 1 и 2.

Теорема Виета — это мощный инструмент для решения квадратных уравнений‚ который позволяет не только находить корни‚ но и устанавливать связь между ними и коэффициентами уравнения. Освоив её‚ вы сможете значительно упростить процесс решения квадратных уравнений в различных математических задачах. Практикуйтесь на разных примерах‚ и вскоре вы увидите‚ как легко и быстро можно находить корни квадратных уравнений с её помощью.